Как убрать корень

Как убрать корень

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно “не очень. ”
И для тех, кто “очень даже. ” )

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение – есть и вычитание. Есть умножение – есть и деление. Есть возведение в квадрат. Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом “радикал“.

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах.

Как извлечь (или посчитать – это всё едино) корень квадратный из 4? Нужно просто сообразить: какое число в квадрате даст нам 4? Да конечно же 2! Значит:

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры:

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но. Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек. Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень.

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах.

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию – возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться.

В этом и есть сложность извлечения корней. Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком – да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс – подбор ответа – сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 – вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да.

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый – выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй – решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно.

Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни – думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот. Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт – сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число – не имеет смысла! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных – можно. Например, вполне можно вычислить

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить. Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух – это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное. Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда. Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это – самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными. Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

, , .

и так далее, скрываются просто числа! Неровные, лохматые, иррациональные, но числа!

Конечно, если корень из числа извлекается ровно, вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

никто не оценит. Надо корень посчитать и написать

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах. Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два – слышу недовольные ответы.

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4. А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит. Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: арифметический квадратный корень из числа а – это неотрицательное число, квадрат которого равен а. Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни – арифметические. Хотя особо об этом не упоминается.

Читать еще:  Пульпит у детей: лечение молочных зубов в разном возрасте, профилактика

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше – не возиться с отрицательными результатами. Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) – это просто сокращённая запись двух ответов:

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень – число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов – отрицательный! Непорядок. Это первая ( но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням. Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня. Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) – число всё равно неотрицательное! А знаки – это результат решения уравнения. Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

Потому, что это – арифметический квадратный корень.

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это – решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор. извините, камни!)

Всё это – в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Извлечение корня

Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

    Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

, так как (+3) 3 =27

, так как (-3) 3 =-27

Корень чётной степени из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.

, так как (+3) 2 =+9 и (-3) 2 =+9

, так как (+4) 4 =+256 и (-4) 4 =+256

  • Корень чётной степени из отрицательного числа является невозможным выражением, потому что любое положительное или отрицательное число при возведении в чётную степень даёт только положительный результат. Таким образом, – это невозможные выражения. Невозможные выражения иначе называют мнимыми.
  • Извлечение корня из произведения, степени и дроби

    Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

    Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

    Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

    Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

    Вынесение множителя из-под знака корня

    Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

    Внесение множителя под корень

    Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

    Извлечение корней: методы, способы, решения

    Из этой статьи вы узнаете:

    • что такое «извлечение корня»;
    • в каких случаях он извлекается;
    • принципы нахождения значения корня;
    • основные способы извлечения корня из натуральных и дробных чисел.

    Что такое «извлечение корня»

    Для начала введем определение «извлечение корня».

    Извлечение корня — процесс нахождения значения корня.

    При извлечении корня n -ной степени из числа a, мы находим число b , n -ная степень которого равняется a . Если мы нашли такое число b , можно утверждать, что корень извлечен.

    Выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» равнозначны.

    В каких случаях извлекается корень?

    Корень n -ной степени можно извлечь из числа a точно в случае, если a можно представить в виде n -ной степени некоторого числа b .

    4 = 2 × 2 , следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, который равен 2

    Когда корень n -ной степени из числа a невозможно представить в виде n -ной степени числа b , то такой корень не извлекается либо извлекается только приближенное значение корня с точностью до любого десятичного разряда.

    Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

    • Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.
    • Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
    • Извлечение корней из дробных чисел
    • Извлечение корня из отрицательного числа
    • Поразрядное нахождение значения корня

    Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и каким образом они извлекаются.

    Главный принцип нахождения значения корней — основываться на свойствах корней, в том числе на равенстве: b n n = b , которое является справедливым для любого неотрицательного числа b .

    Начать следует с наиболее простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и т.д.

    Когда таблицы под руками нет, вам поможет способ разложения подкоренного числа на простые множители (способ незатейливый).

    Стоит уделить внимание извлечению корня из отрицательного числа, что является возможным для корней с нечетными показателями.

    Изучим, как извлекать корни из дробных чисел, в том числе из смешанных чисел, обыкновенных и десятичных дробей.

    И потихоньку рассмотрим способ поразрядного нахождения значения корня — наиболее сложного и многоступенчатого.

    Использование таблицы квадратов, кубов и т.д.

    Таблица квадратов включает в себя все числа от 0 до 99 и состоит из 2 зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца с десятками и горизонтальной строки с единицами, во второй зоне содержатся все квадраты образуемых чисел.

    Таблица квадратов

    Таблица квадратов единицы
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    десятки 1 4 9 16 25 36 49 64 81
    1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
    2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
    3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
    4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2041
    5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
    6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
    7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
    8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
    9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

    Существуют также таблицы кубов, четвертой степени и т.д., которые созданы по принципу, аналогичному таблице квадратов.

    Читать еще:  Пульпит зуба: признаки и симптомы воспаления пульпы, лечение, пульпит под пломбой

    Таблица кубов

    Таблица кубов единицы
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    десятки 1 8 27 64 125 216 343 512 729
    1 1000 1 331 1 728 2 197 2 744 3 375 4 096 4 913 5 832 6 859
    2 8000 9 261 10 648 12 167 13 824 15 625 17 576 19 683 21 952 24 389
    3 27000 29 791 32 768 35 937 39 304 42 875 46 656 50 653 54 872 59 319
    4 64000 68 921 74 088 79 507 85 184 91 125 97 336 103 823 110 592 117 649
    5 125000 132 651 140 608 148 877 157 464 166 375 175 616 185 193 195 112 205 379
    6 216000 226 981 238 328 250 047 262 144 274 625 287 496 300 763 314 432 328 509
    7 343000 357 911 373 248 389 017 405 224 421 875 438 976 456 533 474 552 493 039
    8 512000 531 441 551 368 571 787 592 704 614 125 636 056 658 503 681 472 704 969
    729000 753 571 778 688 804 357 830 584 857 375 884 736 912 673 941 192 970 299

    Принцип функционирования таких таблиц прост, однако их часто нет под рукой, что значительно усложняет процесс извлечение корня, поэтому необходимо владеть минимум несколькими способами извлечения корней.

    Разложение подкоренного числа на простые множители

    Наиболее удобный способ нахождения значения корня после таблицы квадратов и кубов.

    Способ разложения подкоренного числа на простые множители подразумевает под собой представление числа в виде степени с необходимым показателем, что дает нам возможность получить значение корня.

    Извлечем квадратный корень из 144 .

    Разложим 144 на простые множители:

    Таким образом: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = ( 2 × 2 ) 2 × 3 2 = ( 2 × 2 × 3 ) 2 = 12 2 . Следовательно, 144 = 12 2 = 12 .

    Также при использовании свойств степени и корней можно записать преобразование немного по-другому:

    144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

    144 = 12 – окончательный ответ.

    Извлечение корней из дробных чисел

    Запоминаем: любое дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби.

    Следуя свойству корня из частного, справедливым является следующее равенство:

    p q n = p n q n . Исходя из этого равенства, необходимо воспользоваться правилом извлечения корня из дроби: корень из дроби равен от деления корня числителя на корень знаменателя.

    Рассмотрим пример извлечения корня из десятичной дроби, поскольку извлечь корень из обыкновенной дроби можно с помощью таблицы.

    Необходимо извлечь кубический корень из 474 , 552 . Первым делом, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Из этого следует: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Затем можно приступить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

    474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = ( 2 × 3 × 13 ) 3 = 78 3 и 1000 = 10 3 , то

    474552 3 = 78 3 3 = 78 и 1000 3 = 10 3 3 = 10 .

    Завершаем вычисления: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .

    Извлечение корня из отрицательных чисел

    Если знаменатель является нечетным числом, то число под знаком корня может оказаться отрицательным. Из этого следует: для отрицательного числа – a и нечетного показателя корня 2 n – 1 справедливо равенство:

    – a 2 × n – 1 = – a 2 × n – 1

    Правило извлечения нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа необходимо извлечь корень из противоположного ему положительного числа и поставить перед ним знак минус.

    – 12 209 243 5 . Для начала необходимо преобразовать выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительно число:

    – 12 209 243 5 = 12 209 243 – 5 ​​​​​​

    Затем следует заменить смешанное число обыкновенной дробью:

    12 209 243 – 5 = 3125 243 – 5

    Пользуясь правилом извлечения корней из обыкновенной дроби, извлекаем:

    3125 243 – 5 = – 3125 5 243 5

    Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

    – 3125 5 243 5 = – 5 5 5 3 5 5 = – 5 3 = – 1 2 3

    Краткая запись решения:

    – 12 209 243 5 = 12 209 243 – 5 = 3125 243 – 5 = – 3125 5 243 5 = – 5 5 5 3 5 5 = – 5 3 = – 1 2 3 .

    Ответ: – 12 209 243 5 = – 1 2 3 .

    Поразрядное нахождение значения корня

    Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое не получается представить в виде n – ной степени некоторого числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до некоторого знака.

    В таком случае необходимо воспользоваться алгоритмом поразрядного нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

    Как это происходит, разберем на примере извлечения квадратного корня из 5 .

    Сперва необходимо найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , вычисляя при этом 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 до необходимого значения, которое больше, чем подкоренное число 5 . Все это удобно представить в виде таблицы:

    Возможное значение корня 1 2 3
    Это значение в степени 1 4 9

    Значение ряда единиц равняется 2 ( т а к к а к 2 2 5 , а 2 3 > 5 ) . Переходим в разряду десятых — будем возводить в квадрат числа 2 , 0 , 2 , 1 , 2 , 2 , . . . , 2 , 9 , , сравнивая полученные значения с числом 5 .

    Возможное значение корня 2,0 2,1 2,2 2,3
    Это значение в степени 4 4,41 4,84 5,29

    Поскольку 2 , 2 2 5 , а 2 , 3 2 > 5 , то значение десятых равняется 2 . Переходим к нахождению значения сотых:

    Возможное значение корня 2.20 2,21 2,22 2,23 2,24
    Это значение в степени 4,84 4,8841 4,8294 4,9729 5,0176

    Таким образом, найдено значение корня из пяти — 2 , 23 . Можно находить значения корня дальше:

    2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .

    Итак, мы изучили несколько наиболее распространенных способов нахождения значения корня, воспользоваться которыми можно в любой ситуации.

    Извлечение корня

    Извлечь из данного числа корень какой-нибудь степени значит найти такое число, которое при возведении в эту степень, будет равно данному числу.

    Из правил знаков при возведении в степень следует, что:

      Корень нечётной степени из положительного числа есть число положительное, а из отрицательного – отрицательное.

    , так как (+3) 3 =27

    , так как (-3) 3 =-27

    Корень чётной степени из положительного числа может быть как положительным, так и отрицательным числом.

    , так как (+3) 2 =+9 и (-3) 2 =+9

    , так как (+4) 4 =+256 и (-4) 4 =+256

  • Корень чётной степени из отрицательного числа является невозможным выражением, потому что любое положительное или отрицательное число при возведении в чётную степень даёт только положительный результат. Таким образом, – это невозможные выражения. Невозможные выражения иначе называют мнимыми.
  • Извлечение корня из произведения, степени и дроби

    Чтобы извлечь корень из произведения, надо извлечь его из каждого множителя отдельно.

    Так же можно сказать, что корень произведения равен произведению корней всех его множителей:

    Чтобы извлечь корень из степени, следует показатель степени разделить на показатель корня:

    Чтобы извлечь корень из дроби, следует извлечь его отдельно из числителя и из знаменателя:

    Читать еще:  Гнилые зубы: последствия для организма, почему гниют зубы от десны под корень и что делать

    Вынесение множителя из-под знака корня

    Когда нельзя извлечь корень из всего подкоренного числа или выражения, то подкоренное число или выражение раскладывают на множители и извлекают корень только из тех множителей, из которых это возможно сделать.

    Внесение множителя под корень

    Если нужно внести множитель под знак корня, то его следует возвести в степень, равную показателю корня.

    Как быстро извлекать квадратные корни

    14 декабря 2012

    Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

    1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
    2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

    Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.

    1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
    2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
    3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

    Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

    Ограничение корней

    В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

    10 2 = 100;
    20 2 = 400;
    30 2 = 900;
    40 2 = 1600;
    .
    90 2 = 8100;
    100 2 = 10 000.

    Получим ряд чисел:

    100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

    Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

    [Подпись к рисунку]

    То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

    [Подпись к рисунку]

    Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

    Отсев заведомо лишних чисел

    Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

    Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

    Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

    Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

    Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    1 4 9 6 5 6 9 4 1

    Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

    2 2 = 4;
    8 2 = 64 → 4.

    Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

    [Подпись к рисунку]

    Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

    [Подпись к рисунку]

    Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

    Финальные вычисления

    Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

    Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

    52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
    58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

    Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный 🙂

    Примеры вычисления корней

    Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

    Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

    Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

    24 2 = (20 + 4) 2 = 576

    Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:

    Смотрим на последнюю цифру:

    Возводим в квадрат:

    33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
    37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Смотрим на последнюю цифру:

    Возводим в квадрат:

    52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

    Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

    Задача. Вычислите квадратный корень:

    [Подпись к рисунку]

    Смотрим на последнюю цифру:

    Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

    65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

    Все правильно. Записываем ответ.

    Заключение

    Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?

    Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

    • На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
    • Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

    В общем, учитесь считать. И все будет хорошо. Удачи!

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector